複数的n次方根(nth root of complex nu

  • 2020-08-03


根据代数基本定理与因式定理得知,$$n$$ 次方程式 $$x^n={a}$$ ($${a}$$是複数)恰有 $$n$$ 个複数根,这 $$n$$ 个根称为 $${a}$$ 的 $$n$$ 次方根。现在,我们应用棣美弗定理求解此方程式。

假设複数 $$z$$ 是方程式 $$x^n={a}$$ 的根,即 $$z^n={a}$$。以极式表示:

複数的n次方根(nth root of complex nu

虽然整数 $$k$$ 有无限多个,乍看之下好像也有无限多个 $$\theta$$,但 $$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$ 得出的 $$n$$ 的辐角 $$\theta$$,和 $$k=n,n+1,n+2,\mbox{……},2n-1$$ 得出的 $$n$$ 个辐角 $$\theta$$ 是同界角,而且 $$\sin\theta$$、$$\cos\theta$$ 的週期为 $$2\pi$$,故取 $$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$,即複数 $$z$$ 的主辐角 $$\theta$$ 为

$$\displaystyle \frac{\phi}{n},~~~\frac{\phi+2\pi}{n},~~~\frac{\phi+4\pi}{n},\mbox{……},\frac{\phi+2(n-1)\pi}{n}$$

因此,$$a$$ 的 $$n$$ 个 $$n$$ 次方根为

$$\displaystyle z_k=\sqrt[n]{|a|}(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n})$$

其中$$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$。

在複数平面上,这 $$n$$ 个 $$n$$ 次方根落在以原点为圆心、$$\sqrt[n]{|a|}$$ 为半径的圆上,并且平均分布在圆内接正 $$n$$ 边形的顶点上。当然,方程式 $$x^n={a}$$ 的 $$n$$ 次方根涵盖了之前讨论过的 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根。底下,我们举个例子来熟悉複数的 $$n$$ 次方根。

例题:求解 $$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根。

解:假设複数 $$z$$ 是 $$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根,

以极式表示,$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$、$$-8+8\sqrt{3}i=16(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin\frac{2\pi}{3})$$,

所以 $$z^4=-8+8\sqrt{3}i\Rightarrow[r(\cos{\theta}+i\sin\theta)]^4=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{2})$$,

由棣美弗定理 $$[r^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)]=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$$,

由複数的相等性质($$r$$ 是大于 $$0$$ 的实数,$$4\theta$$ 和 $$\frac{2\pi}{3}$$ 是同界角),

複数的n次方根(nth root of complex nu

因此,$$z_k=2(\cos(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{4}))$$,其中$$k=0,1,2,3.$$。

複数的n次方根(nth root of complex nu

所以,$$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根为 $$\sqrt{3}+i,-1+\sqrt{3}i,-\sqrt{3}+i,1-\sqrt{3}i$$。

上述是标準的解法,但是对多数的学生而言是相当不容易的。底下,用「回到$$1$$」的观念提供另一个简单的解法。

解:首先,找出一个$$-8+8\sqrt{3}i$$的四次方根,

$$-8+8\sqrt{3}i=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i{sin}\frac{2\pi}{3})=(2(\cos\frac{\pi}{6}+i{sin}\frac{\pi}{6}))^4=(\sqrt{3}+1)^4$$

将方程式整理,「回到$$1$$」,

$$z^4=-8+8\sqrt{3}i\Rightarrow\frac{z^4}{-8+8\sqrt{3}i}=1\Rightarrow\frac{z^4}{(\sqrt{3}+i)^4}=1\Rightarrow(\frac{z}{\sqrt{3}+i})^4=1$$,

$$1$$的四次方根显然容易多了,所以$$\frac{z}{\sqrt{3}+i}=1,i,-1,-i$$,

因此$$z=\sqrt{3}+i, -1+\sqrt{3}i, -\sqrt{3}-i, 1-\sqrt{3}i$$。



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